Απομνημόνευση της μεθόδου του Schröder ως αποτελεσματική στρατηγική για την εκτίμηση των ριζών άγνωστης πολλαπλότητας

Αφηρημένη:

Σε αυτή την εργασία, προτείνουμε, εξ όσων γνωρίζουμε, το πρώτο επαναληπτικό σχήμα με μνήμη για την εύρεση ριζών των οποίων η πολλαπλότητα είναι άγνωστη που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Βελτιώνει την αποτελεσματικότητα μιας παρόμοιας διαδικασίας χωρίς μνήμη λόγω του Schröder και μπορεί να θεωρηθεί ως σπόρος για τη δημιουργία μεθόδων υψηλότερης τάξης με παρόμοια χαρακτηριστικά. Αφού μελετηθεί η σειρά σύγκλισής του, αναλύεται η σταθερότητά του δείχνοντας τις καλές του ιδιότητες και συγκρίνεται αριθμητικά ως προς τις λεκάνες έλξης τους με παρόμοια σχήματα χωρίς μνήμη για την εύρεση πολλαπλών ριζών.

Η μνήμη είναι ένα σημαντικό μέρος της ανθρώπινης νοημοσύνης και μια αναγκαιότητα για την ανθρώπινη μάθηση, σκέψη, δημιουργία και ζωή. Αλλά πολλοί άνθρωποι βρίσκουν ότι η μνήμη τους είναι ανεπαρκής και συχνά ξεχνάνε σημαντικά πράγματα. Η ποιότητα της μνήμης συνδέεται στενά με την επανάληψη της μνήμης.

Η λεγόμενη επανάληψη της μνήμης αναφέρεται στη συνεχή ενδυνάμωση και εδραίωση της μνήμης κατά τη διαδικασία επαναλαμβανόμενης εκμάθησης ενός συγκεκριμένου σημείου γνώσης ή δεξιότητας και τελικά μετατρέπεται σε μακροπρόθεσμη μνήμη. Αυτή η διαδικασία όχι μόνο βοηθά στην εδραίωση των αναμνήσεων αλλά και βελτιώνει την ποσότητα και την ποιότητά τους.

Λοιπόν, πώς να επαναλάβετε καλά τη μνήμη; Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε πλήρως το μαθησιακό περιεχόμενο. Μόνο με βαθιά κατανόηση μπορεί η γνώση να αποτυπωθεί αληθινά στο μυαλό και να αποφευχθεί η λήθη. Δεύτερον, συνεχίστε να αναθεωρείτε. Η επανειλημμένη ανασκόπηση της μαθημένης γνώσης, βοηθά τον εγκέφαλο να εμβαθύνει την εντύπωση της αναγνώρισης της γνώσης, του συλλογισμού και της κατανόησης, ενισχύοντας έτσι τη μακροπρόθεσμη μνήμη. Τέλος, χρησιμοποιήστε μια ποικιλία μεθόδων για να βοηθήσετε στην επανάληψη της μνήμης. Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε τη μνήμη σας πιο σε βάθος φτιάχνοντας χάρτες μυαλού, αναδιήγηση κ.λπ.

Εν ολίγοις, η επαναληπτική μνήμη είναι μια πολύπλοκη και σημαντική διαδικασία που απαιτεί συνεχή προσπάθεια και επιμονή. Μόνο αντιμετωπίζοντας την επαναληπτική μνήμη ως τρόπο ζωής και ενσωματώνοντάς την σε όλες τις πτυχές της καθημερινής μελέτης, της εργασίας και της ζωής μπορούμε να βελτιώνουμε συνεχώς τη μνήμη μας, να επιτρέπουμε στους εαυτούς μας να ανταπεξέλθουμε καλύτερα σε περίπλοκες μαθησιακές και εργασιακές προκλήσεις και να δείξουμε ένα νέο προσωπικό στυλ. Η πάστα κρέατος είναι ένα παραδοσιακό κινέζικο φαρμακευτικό υλικό που έχει πολλά μοναδικά αποτελέσματα, ένα από τα οποία είναι η βελτίωση της μνήμης. Η αποτελεσματικότητα του κιμά προέρχεται από μια ποικιλία ενεργών συστατικών που περιέχει, όπως καρβοξυλικό οξύ, πολυσακχαρίτες, φλαβονοειδή κ.λπ. Αυτά τα συστατικά μπορούν να προάγουν την υγεία του εγκεφάλου μέσω διαφόρων καναλιών.

Κάντε κλικ στο Μάθετε 10 τρόπους για να βελτιώσετε τη μνήμη

Λέξεις-κλειδιά:

Μη γραμμικές εξισώσεις; επαναληπτικές μέθοδοι με μνήμη. πολλαπλές ρίζες? χωρίς παράγωγα· αποδοτικότητα; σταθερότητα.

1. Εισαγωγή

Υπάρχουν στη βιβλιογραφία (βλ., για παράδειγμα, Αναφορά [1-8]) πολυάριθμες επαναληπτικές μέθοδοι χωρίς μνήμη, που περιλαμβάνουν ή όχι παραγώγους, σχεδιασμένες να υπολογίζουν τις πολλαπλές ρίζες μιας μη γραμμικής εξίσωσης f(x)=0, αλλά τα περισσότερα από αυτά χρειάζονται τη γνώση της πολλαπλότητας m αυτών των ριζών.

Είναι γνωστό ότι η μέθοδος Schröder [9]:

με το να είναι πραγματική παράμετρος, απαιτεί 4 αξιολογήσεις συναρτήσεων ανά βήμα και δεν είναι πλέον χωρίς παράγωγο. Αυτή η μέθοδος Traub-Steffensen στο g είναι πολύ ακριβή και δεν εξετάζεται περαιτέρω.

Το κύριο πλεονέκτημα του σχήματος Schröder είναι η ανεξαρτησία του από τη γνώση της πολλαπλότητας της μη γραμμικής συνάρτησης, σε αντίθεση με την τροποποιημένη μέθοδο του Newton για πολλαπλές ρίζες,

όπου m είναι η πολλαπλότητα του , που πρέπει να είναι γνωστό σε αυτήν την περίπτωση. Αυτό το σχήμα οφειλόταν επίσης στον Schröder (βλέπε επίσης Αναφορά [9]), και το συμβολίζουμε με SM2. Αυτό το σχήμα είναι δεύτερης τάξης συγκλίνον και, επομένως, βέλτιστο, με την έννοια της εικασίας Kung-Traub, (καθώς χρησιμοποιεί δύο νέες λειτουργικές αξιολογήσεις ανά επανάληψη, βλέπε Αναφορά [10]). Ωστόσο, χρειάζεται τη γνώση της πολλαπλότητας, ενώ το SM1 δεν το χρησιμοποιεί. Ωστόσο, το κύριο μειονέκτημα του σχήματος SM1 είναι η χαμηλή του απόδοση, καθώς χρειάζεται να αξιολογήσει τρεις μη γραμμικές συναρτήσεις (f(x), f 0 (x) και f 00(x)) ανά επανάληψη.

Ο στόχος μας σε αυτό το χειρόγραφο είναι διπλός: από τη μία πλευρά, θα θέλαμε να αυξήσουμε την αποτελεσματικότητα του σχήματος SM1, διατηρώντας την ικανότητά του να βρίσκει πολλαπλές ρίζες πολλαπλότητας m χωρίς να γνωρίζει το m και, από την άλλη πλευρά, να συνδυάζει στον ίδιο αλγόριθμο τη δυνατότητα εύρεσης πολλαπλών ριζών με τη χρήση περισσότερων του ενός προηγούμενων επαναλήψεων. Έτσι, προτείνουμε ένα επαναληπτικό σχήμα με μνήμη για την εκτίμηση πολλαπλών ριζών άγνωστης πολλαπλότητας. Από όσο γνωρίζουμε, δεν υπάρχει στη βιβλιογραφία επαναληπτική διαδικασία που να ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες.

Κατά την ανάλυση της σύγκλισης του προτεινόμενου σχήματος, ορισμένες πτυχές πρέπει να ληφθούν υπόψη, καθώς είναι μια επαναληπτική μέθοδος με μνήμη, επομένως το σφάλμα σε πολλές προηγούμενες επαναλήψεις πρέπει να ληφθεί υπόψη και η πολλαπλότητα της ρίζας m θα πρέπει επίσης να είναι βασικό στοιχείο της επίδειξης, αν και η συγκεκριμένη αξία της δεν είναι γνωστή. Σχετικά με αυτό το γεγονός, πρέπει να σημειωθεί ότι f (q) ( ) {{0}} για q=1, 2, . . . , m − 1 και f (m) ( ) 6= 0. Έτσι, οι επεκτάσεις Taylor γύρω από τα f και f 0 που εμφανίζονται στην επαναληπτική έκφραση θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη αυτές τις πληροφορίες.

Από την άλλη πλευρά, καθώς το προτεινόμενο σχήμα μας είναι μια επαναληπτική διαδικασία που χρησιμοποιεί τρεις προηγούμενες επαναλήψεις για τον υπολογισμό της επόμενης, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε την εξίσωση σφάλματος ως προς τα αντίστοιχα λάθη τους και, από αυτήν, να συναγάγουμε τη σειρά σύγκλισής της. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ένα κλασικό αποτέλεσμα των Ortega και Rheinboldt [11], το οποίο παρουσιάζεται παρακάτω.

Θεώρημα 1. Έστω ψ μια επαναληπτική μέθοδος με μνήμη που δημιουργεί μια ακολουθία {xk} προσεγγίσεων στη ρίζα, και έστω αυτή η ακολουθία να συγκλίνει στο . Αν υπάρχει μη μηδενική σταθερά η και θετικοί αριθμοί ti, i=0, 1, . . . , m, τέτοια ώστε η ανισότητα

Σε αυτό το χειρόγραφο, η Ενότητα 2 είναι αφιερωμένη στον σχεδιασμό και την ανάλυση σύγκλισης της προτεινόμενης επαναληπτικής μεθόδου χωρίς παράγωγα με μνήμη για την εύρεση πολλαπλών ριζών (χωρίς να γνωρίζουμε την πολλαπλότητά της). Στην Ενότητα 3, η σταθερότητά του αναλύεται για να συναχθεί η εξάρτησή του από τις αρχικές εκτιμήσεις τόσο για απλές όσο και για πολλαπλές ρίζες. Στην Ενότητα 4, η αριθμητική απόδοση της μεθόδου ελέγχεται σε διάφορες δοκιμαστικές συναρτήσεις, που αναλύονται, καθώς και στις αντίστοιχες λεκάνες έλξης τους, σε σύγκριση με τις υπάρχουσες μεθόδους Schröder.

2. Σχεδιασμός και Ανάλυση Σύγκλισης

Το σημείο εκκίνησης μας είναι το σχήμα χωρίς παράγωγα με μνήμη λόγω Traub [12],

Το κύριο πλεονέκτημα αυτού του σχήματος είναι η ικανότητά του να βρίσκει απλές, καθώς και πολλαπλές, ρίζες μιας μη γραμμικής συνάρτησης χωρίς τη γνώση της πολλαπλότητας, με καλύτερη απόδοση από το SM1. Σίγουρα, χρησιμοποιώντας τον δείκτη απόδοσης του Ostrowski [13], το ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 είναι χαμηλότερο από το IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, όπου κάθε δείκτης I υπολογίζεται ως p 1 d, με p είναι η σειρά σύγκλισης της μεθόδου, και δ ο αριθμός των νέων λειτουργικών αξιολογήσεων ανά επανάληψη.

Στην επόμενη ενότητα, γίνεται μια δυναμική ανάλυση αυτού του σχήματος, για να φανεί η ποιοτική του απόδοση σε απλές και πολλαπλές ρίζες. Καθώς είναι μια επαναληπτική μέθοδος με μνήμη, πρέπει να χρησιμοποιηθεί πολυδιάστατη πραγματική δυναμική.

3. Ποιοτική μελέτη των προτεινόμενων επαναληπτικών μεθόδων με μνήμη για πολλαπλές ρίζες

Ας σημειώσουμε ότι η μέθοδός μας χρησιμοποιεί τρεις προηγούμενες επαναλήψεις για να δημιουργήσει την ακόλουθη. επομένως, μπορεί να εκφραστεί γενικά α

όπου x0, x−1 και x−2 είναι οι αρχικές εκτιμήσεις. Χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που ορίζεται στην αναφορά [14], αυτή η μέθοδος μπορεί να περιγραφεί ως ένα διακριτό πραγματικό πολυδιάστατο δυναμικό σύστημα και η ποιοτική συμπεριφορά του μπορεί να αναλυθεί

Η ποιοτική απόδοση του δυναμικού συστήματος έχει βασικό στοιχείο στον χαρακτηρισμό των σταθερών σημείων τους, ως προς τη σταθερότητα. Για τον υπολογισμό των σταθερών σημείων του 1 SF Υ, μπορεί να οριστεί μια βοηθητική διανυσματική συνάρτηση M: R3 −→ R3, που σχετίζεται με 1 SF Υ χρησιμοποιώντας:

Επιπλέον, εάν υπάρχει μια ιδιοτιμή λi του Jacobian matrix M{{0}} που αξιολογείται σε ένα σταθερό σημείο x ∗ ικανοποιεί |λi|< 1 και άλλο ένα λj τέτοιο ώστε |λj|> 1, λοιπόν, το x ∗ ονομάζεται σταθερό σημείο σέλας. Ως επέκταση της έννοιας στη μονοδιάστατη δυναμική, εάν οι ιδιοτιμές του M0 (x ∗ ) ικανοποιούν το |λj |=0 για όλες τις τιμές του j=1, 2, . . . , m, λοιπόν, το σταθερό σημείο x∗ όχι μόνο έλκει αλλά και υπερέλκει. Επομένως, η μέθοδος έχει τετραγωνική σύγκλιση, τουλάχιστον στην κατηγορία των μη γραμμικών συναρτήσεων που εξάγουν την ορθολογική συνάρτηση (βλ. Αναφορά [12]).

Θεωρώντας το x ∗ ένα σταθερό σημείο έλξης του M, η λεκάνη έλξης του A(x∗ ) ορίζεται ως το σύνολο των προεικόνων οποιασδήποτε τάξης

Η ποιοτική απόδοση διαφορετικών επαναληπτικών σχημάτων που έχουν σχεδιαστεί για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με πολλαπλές ρίζες έχει μελετηθεί από διαφορετικούς συγγραφείς (βλ., για παράδειγμα, Αναφορά [17-19]). Έχει κατασκευαστεί με χρήση διακριτών σύνθετων δυναμικών, καθώς όλα αυτά τα σχήματα είναι χωρίς μνήμη. Σε αυτές τις μελέτες, προέκυψε ότι, όταν μια επαναληπτική μέθοδος (χωρίς μνήμη) που έχει σχεδιαστεί για την εύρεση πολλαπλών ριζών δρα σε μια μη γραμμική συνάρτηση με απλές και πολλαπλές ρίζες, είναι πολύ συνηθισμένο ότι οι λεκάνες έλξης απλών ριζών είναι στενότερες από αυτές πολλαπλών ριζών. Πράγματι, αυτές οι απλές ρίζες μπορεί να ορίζουν σταθερά σημεία της ορθολογικής συνάρτησης που είναι απωθητικά. Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος θα πρέπει να μπορεί να βρει μόνο πολλαπλές ρίζες.

Η ακόλουθη ποιοτική ανάλυση γίνεται στο p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Μεγαλύτερο ή ίσο με 1, έτσι ώστε η ικανότητα του σχήματος να βρει τόσο απλά όσο και δοκιμάζεται πολλαπλές ρίζες (με πολλαπλότητα m).

Ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την οπτικοποίηση των αναλυτικών αποτελεσμάτων είναι το δυναμικό επίπεδο του συστήματος, που αποτελείται από ένα σύνολο διαφορετικών λεκανών έλξης. Εδώ, το δυναμικό επίπεδο της προτεινόμενης μεθόδου gTM κατασκευάζεται με τον υπολογισμό της τροχιάς ενός πλέγματος 800 × 800 σημείων εκκίνησης (z, x) για μια σταθερή τιμή w στο αρχικό πλέγμα. Καθώς τα επαναληπτικά σχήματα πρέπει να ξεκινήσουν με τρεις αρχικές εκτιμήσεις, δημιουργούμε ένα πλέγμα δυναμικών επιπέδων, καθένα από αυτά με σταθερή τιμή w στο διάστημα [−1,75, 1,75]. Σε αυτά τα πορτρέτα φάσης, κάθε σημείο του πλέγματος είναι βαμμένο με διαφορετικά χρώματα (πορτοκαλί και πράσινο σε αυτήν την περίπτωση), ανάλογα με τον ελκυστήρα στον οποίο συγκλίνουν (σημειωμένο ως λευκό αστέρι), με ανοχή 10−3. Επιπλέον, εμφανίζονται με μαύρο χρώμα εάν η τροχιά δεν έχει φτάσει σε κανένα ελκυστικό σταθερό σημείο σε 500 το πολύ επαναλήψεις. Καθώς η σταθερή τιμή του w αλλάζει σε ένα διάνυσμα τιμών που ανήκει στο [−1,75, 1,75], προκύπτει μια σύνθεση ψηφίων για κάθε πολλαπλότητα, δίνοντας ένα είδος γραφικής παράστασης περιγράμματος.

Στο σχήμα 1, δείχνουμε την απόδοση του σχήματος gTM στο p(x), δηλαδή του ορθολογικού τελεστή TM για απλές ρίζες. Παρατηρώντας τη συμπεριφορά για τα διαφορετικά διαγράμματα με τις τρεις πρώτες επαναλήψεις να ποικίλουν σε [−2, 2], παρατηρείται η σταθερή σκοπιμότητα. Οι λεκάνες έλξης των ριζών είναι οι μόνες. είναι ευρείες και η μόνη διαφορετική απόδοση (καλύτερη από άλλες όσον αφορά την απλότητα του ορίου μεταξύ των λεκανών) είναι η περίπτωση w=0, όπου η ορθολογική συνάρτηση είναι απλοποιημένη. Σε όλες τις περιπτώσεις, παρατηρείται ότι η μόνη πιθανή συμπεριφορά της μεθόδου gTM είναι η σύγκλιση προς τις ρίζες.

Από την άλλη πλευρά, στο σχήμα 2, παρουσιάζουμε μια πολύ παρόμοια απόδοση όταν η μία από τις ρίζες είναι διπλή και η άλλη είναι απλή. Οι λεκάνες έλξης είναι εξίσου ευρείες και αυτή η συμπεριφορά είναι πολύ παρόμοια όταν έχουν διερευνηθεί άλλες πολλαπλότητες. Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση μπορεί να φανεί ότι υπάρχει μόνο σύγκλιση με τις ρίζες, καθώς οι πιο σκοτεινές περιοχές έχουν μόνο πιο αργή σύγκλιση, λόγω της υψηλότερης πολυπλοκότητας του ορίου των λεκανών έλξης.

4. Αριθμητικές επιδόσεις και δυναμικές δοκιμές

Σε αυτή την ενότητα, συγκρίνουμε τρεις μεθόδους, δηλαδή SM2 (που απαιτεί τη γνώση της πολλαπλότητας), SM1 και gTM (που προέρχονται από τη μέθοδο του Traub). Οι δύο τελευταίες μέθοδοι δεν απαιτούν τη γνώση της πολλαπλότητας, αλλά απαιτούν επιπλέον λειτουργικές αξιολογήσεις ανά βήμα επανάληψης (τρεις στην περίπτωση του SM1, δύο στην περίπτωση gTM).

Οι μέθοδοι συγκρίνονται τόσο ποιοτικά μέσω των λεκανών με στοιχεία έλξης όσο και ποσοτικά μέσω πολλών μέτρων. Αυτά τα μέτρα είναι ο χρόνος εκτέλεσης της CPU για την εκτέλεση της μεθόδου σε σημεία σε τετράγωνο 6 επί 6 με κέντρο στην αρχή. Διαχωρίσαμε το τετράγωνο με ομοιόμορφα κατανεμημένες οριζόντιες και κάθετες γραμμές και πήραμε όλα τα σημεία τομής ως αρχικά σημεία για την επαναληπτική διαδικασία.

Για την TM, μια μέθοδο με μνήμη, έπρεπε να πάρουμε δύο επιπλέον σημεία εκκίνησης x−1=x0 + d και x−2=x0 + 2d, όπου d είναι το απόσταση των γραμμών. Ένα άλλο κριτήριο που συλλέγεται από τον κώδικα είναι ο μέσος αριθμός επαναλήψεων ανά σημείο (AIPP), αλλά, καθώς οι μέθοδοι απαιτούν διαφορετικό αριθμό λειτουργικών αξιολογήσεων ανά βήμα, λάβαμε τον μέσο αριθμό συναρτήσεων ανά σημείο (AFPP). Το τρίτο κριτήριο είναι ο αριθμός των αποκλίνων σημείων (DP), που είναι ο αριθμός των σημείων για τα οποία η μέθοδος δεν συγκλίνει σε 40 επαναλήψεις χρησιμοποιώντας μια ανοχή 10−7.

Με βάση το σχήμα 3, είναι σαφές ότι τα SM1 και SM2 έχουν παρόμοιες λεκάνες και το gTM έχει περισσότερους λοβούς στο όριο μεταξύ των δύο λεκανών. Από το Σχήμα 4, παρατηρούμε ότι το gTM είναι καλύτερο από το SM1. Στα επόμενα 3 σχήματα, το gTM είναι το καλύτερο, με ευρύτερες λεκάνες έλξης και στενότερες μαύρες περιοχές χωρίς σύγκλιση με τις ρίζες. Αυτή η απόδοση διατηρείται ακόμη και για μη πολυωνυμική συνάρτηση f5. Επιπλέον, στο Σχήμα 8, μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι λεκάνες έλξης της μεθόδου SM2 είναι ευρύτερες από τη δική μας μέθοδο gTM.

Αναφερόμαστε τώρα στα δεδομένα στους Πίνακες 1-3. Ο χρόνος εκτέλεσης της CPU σε δευτερόλεπτα δίνεται στον Πίνακα 2. Το SM2 είναι σταθερά ταχύτερο από τα άλλα. Εάν η πολλαπλότητα δεν είναι γνωστή, τότε το gTM είναι ταχύτερο από το SM1, εκτός από το πρώτο παράδειγμα. Κατά μέσο όρο, το gTM είναι ταχύτερο από το SM1.

Ο μέσος αριθμός αξιολογήσεων συναρτήσεων ανά σημείο (βλ. Πίνακα 2) είναι ο υψηλότερος για το SM1 για όλα τα παραδείγματα. Σημειώστε ότι το τελευταίο παράδειγμα είναι το πιο δύσκολο για όλες τις μεθόδους. Ο αριθμός των αποκλίνων σημείων είναι ο χαμηλότερος για το gTM για τα παραδείγματα 1, 3 και 4. Το SM1 έχει τα περισσότερα αποκλίνοντα σημεία για τα πρώτα 6 παραδείγματα, αλλά, στο τελευταίο παράδειγμα, το gTM είχε κακή απόδοση και κατέλαβε την τρίτη θέση συνολικά. Η μέθοδος SM2 ήταν η καλύτερη, κατά μέσο όρο, για τις 3 κατηγορίες ακολουθούμενη από gTM για 2 κατηγορίες.

5. Συμπεράσματα

Κατασκευάστηκε ένα νέο επαναληπτικό σχήμα με μνήμη με δυνατότητα εύρεσης απλών και πολλαπλών ριζών (χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε την πολλαπλότητά τους). Είναι, από όσο γνωρίζουμε, η πρώτη μέθοδος με αυτές τις ιδιότητες στη βιβλιογραφία. Η σειρά σύγκλισής του έχει αποδειχθεί ότι είναι περίπου 1,84 με δύο νέες λειτουργικές αξιολογήσεις ανά επανάληψη. Αυτό αποδίδει το σχήμα για τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας του σχήματος Schröder χωρίς μνήμη SM1, το οποίο έχει παρόμοιες ιδιότητες. Χρησιμοποιώντας πολυδιάστατη πραγματική διακριτή δυναμική και πολυώνυμα χαμηλού βαθμού με απλές και πολλαπλές ρίζες, αναλύθηκε η σταθερότητα του προτεινόμενου σχήματος, δείχνοντας ευρείες περιοχές σύγκλισης και στα δύο είδη ριζών.

Στην τελευταία ενότητα, οι μέθοδοι Schröder και gTM που εκτελούνται σε πολλά παραδείγματα μας επέτρεψαν να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι, εάν η πολλαπλότητα είναι γνωστή εκ των προτέρων, τότε το SM1 και το gTM δεν μπορούν να ανταγωνιστούν, παρόλο που το gTM είναι καλύτερο από το SM1. Ωστόσο, όταν η πολλαπλότητα δεν είναι γνωστή, η προτεινόμενη μέθοδος gTM παρουσιάζει πολύ καλή απόδοση και καλύτερη απόδοση από τις μεθόδους SM1, όσον αφορά το χρόνο εκτέλεσης, το υπολογιστικό κόστος και την ευρεία των λεκανών έλξης.

Συνεισφορές συγγραφέα:

Conceptualization, AC και JRT. μεθοδολογία, BN; λογισμικό, AC και BN. επικύρωση, BN; επίσημη ανάλυση, JRT; έρευνα, AC; γραφή — προετοιμασία πρωτότυπου σχεδίου, AC και BN. συγγραφή — κριτική και επεξεργασία, JRT. εποπτεία, BN και JRT Όλοι οι συγγραφείς έχουν διαβάσει και έχουν συμφωνήσει με τη δημοσιευμένη έκδοση του χειρογράφου.

Χρηματοδότηση:

Αυτή η έρευνα υποστηρίχθηκε εν μέρει από το PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Δήλωση ενημερωμένης συναίνεσης:

Δεν εφαρμόζεται.

Ευχαριστίες:

Οι συγγραφείς θα ήθελαν να ευχαριστήσουν τους ανώνυμους κριτές για τις προτάσεις και τα σχόλιά τους που βελτίωσαν την τελική έκδοση αυτού του χειρογράφου.

Σύγκρουση συμφερόντων:

Οι συγγραφείς δηλώνουν ότι δεν υπάρχει σύγκρουση συμφερόντων.

βιβλιογραφικές αναφορές

1. Petkovi´c, M.; Neta, Β.; Petkovi'c, L.; Džuni´c, J. Μέθοδοι πολλαπλών σημείων για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων. Academic Press: Oxford, UK, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Advances in Iterative Methods for Nonlinear Equations; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Ελβετία, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, Α.; Torregrosa, JR Ένα νέο σχήμα υψηλότερης τάξης βέλτιστου χωρίς παράγωγα για πολλαπλές ρίζες. J. Comput. Appl. Μαθηματικά. 2021, 113773, υπό έκδοση. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, Ρ.; Chu, YM Ένας βέλτιστος αριθμητικός αλγόριθμος χωρίς παράγωγα τέταρτης τάξης για πολλαπλές ρίζες. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, Μ.; Arshad, Μ.; Afzal, T. Μια οικογένεια βέλτιστης επαναληπτικής συνάρτησης όγδοης τάξης για πολλαπλές ρίζες και η δυναμική της. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Μια οικογένεια επαναληπτικών μεθόδων πέμπτης τάξης για την εύρεση πολλαπλών ριζών μη γραμμικών εξισώσεων. Αριθμός. Πρωκτικός. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Αργυρός, ΙΚ Μια αποτελεσματική κατηγορία μεθόδου τέταρτης τάξης χωρίς παράγωγα για πολλαπλές ρίζες. Int. J. Nonlinear Sci. Αριθμός. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, Α.; Torregrosa, JR Μια οικογένεια βέλτιστων μεθόδων τέταρτης τάξης για πολλαπλές ρίζες μη γραμμικών εξισώσεων. Μαθηματικά. Μέθοδοι Εφαρμ. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Μαθηματικά. Αννα. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Βέλτιστη σειρά επανάληψης ενός σημείου και πολλαπλών σημείων. J. Αναπλ. Υπολογιστής. Mach. 1974, 21, 643-651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Επαναληπτική Λύση Μη Γραμμικών Εξισώσεων σε Αρκετές Μεταβλητές. Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iterative Methods for the Solution of Equations; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, ΗΠΑ, 1964.

13. Ostrowski, AM Solutions of Equations and Systems of Equations; Academic Press: New York, NY, USA; Λονδίνο, Ηνωμένο Βασίλειο, 1966.

14. Campos, Β.; Cordero, Α.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Μια πολυδιάστατη δυναμική προσέγγιση σε επαναληπτικές μεθόδους με μνήμη. Appl. Μαθηματικά. Υπολογιστής. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL An Introduction to Chaotic Dynamical Systems; Προόδους στα Μαθηματικά και τη Μηχανική. CRC Press: Boca Raton, Φλόριντα, ΗΠΑ, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com